Question

已知函數(shù)。
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)判斷奇偶性；
(3)判斷單調(diào)性；
(4)作出其圖象，并依據(jù)圖象寫出其值域．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽；
（2）∵，
∴f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)O對稱。
（3）單調(diào)性：設(shè)x₁、x₂∈(0，+∞)且x₁＜x₂，
則，
當(dāng)0＜x₁＜x₂≤1時(shí)，可知f(x₁)-f(x₂)＜0，
∴f(x)在(0，1]上是增函數(shù)，
當(dāng)1＜x₁＜x₂時(shí)，f(x₁)-f(x₂)＞0，
∴f(x)在(1，+∞)上是減函數(shù)，
由于f(x)是奇函數(shù)，且f(0)=0，
因此，f(x)的減區(qū)間為(-∞，-1]、[1，+∞)，增區(qū)間為[-1，1]，并且當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→0，圖象與x軸無限接近．
（4）其圖象如下圖所示，
，
可見其值域?yàn)閇-1，1]．