Question

一家公司計劃生產某種小型產品的月固定成本為1萬元，每生產1萬件需要再投入2萬元，設該公司一個月內生產該小型產品x萬件并全部銷售完，每萬件的銷售收入為4-x萬元，且每萬件國家給予補助2e-

2elnx

x

-

1

x

萬元．（e為自然對數的底數，e是一個常數）
（Ⅰ）寫出月利潤f（x）（萬元）關于月產量x（萬件）的函數解析式
（Ⅱ）當月產量在[1，2e]萬件時，求該公司在生產這種小型產品中所獲得的月利潤最大值（萬元）及此時的月生成量值（萬件）．（注：月利潤=月銷售收入+月國家補助-月總成本）

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由月利潤=月銷售收入+月國家補助-月總成本，即可列出函數關系式；
（2）利用導數判斷函數的單調性，進而求出函數的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于：月利潤=月銷售收入+月國家補助-月總成本，可得

f(x)=x(4-x+2e- 2elnx x - 1 x -2)-1 =-x2+2(e+1)x-2elnx-2(x＞0)

（Ⅱ）f（x）=-x²+2（e+1）x-2elnx-2的定義域為[1，2e]，
且f′(x)=-2x+2(e+1)-

2e

x

=-

2(x-1)(x-e)

x

(x＞0)
列表如下：

x	（1，e）	e	（e，2e]
f'（x）	+	0	-
f（x）	增	極大值f（e）	減

由上表得：f（x）=-x²+2（e+1）x-2elnx-2在定義域[1，2e]上的最大值為f（e）．
且f（e）=e²-2．即：月生產量在[1，2e]萬件時，該公司在生產這種小型產品中所獲得的月利潤最大值為f（e）=e²-2，此時的月生產量值為e（萬件）．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、求函數的最值等知識，考查學生利用導數解決實際問題的能力及運算求解能力，屬于難題．