Question

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個(gè)高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個(gè)底邊），已知其中AF是以A為頂點(diǎn)、AD為對(duì)稱軸的拋物線段．試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．

 

 

Answer 1

【解析】

試題分析：求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積，由梯形的面積公式須知PQ,PR,QE的長(zhǎng)度，注意到點(diǎn)P在曲線AF上的動(dòng)點(diǎn)，因此此題可建立直角坐標(biāo)系求解，故以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，從而得，而曲線AF是以A為定點(diǎn)，AD為對(duì)稱軸的拋物線段，故利用AF求出拋物線的方程，利用EC求出直線EC的方程，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得出PQ,PR,PE的長(zhǎng)度，由梯形的面積公式，得出工業(yè)園區(qū)的面積 ，由于是三次函數(shù)，需用求導(dǎo)來(lái)求最大值，從而解出高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積是.

試題解析：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖，則…（2分）

由題意可設(shè)拋物線段所在拋物線的方程為，由得，，

∴AF所在拋物線的方程為， （5分）

又，∴EC所在直線的方程為，

設(shè)，則， （9分）

∴工業(yè)園區(qū)的面積， （12分）

∴令得或（舍去負(fù)值） ， （13分）

當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值．

答：該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．

考點(diǎn)：平面解析幾何與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.