【題目】已知橢圓：的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成面積為的等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）；（2）存在；直線的方程為.

【解析】

（1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成面積為的等腰直角三角形，可得和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）由（1）可知橢圓方程，把直線代入橢圓方程，消得，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式表示出，再由韋達(dá)定理和點(diǎn)（由的垂直平分線方程中令x=0求得）到直線距離求得,然后令，解出，再檢驗(yàn)判別式，寫出直線的方程.

（1）依題意得：，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為等邊三角形，設(shè)，，

線段的中點(diǎn)為，則，

把代入

并整理得，，

則，

解得.

又，

所以，，，即.

則直線的方程為，

即，

令，則，即，

所以，又，

即解得，滿足題意.

所以在軸上存在點(diǎn)，使為等邊三角形，且直線的方程為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，過其右焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，不重合，直線，與直線分別交于點(diǎn)，，求證：以線段為直徑的圓過定點(diǎn).

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【題目】已知空間中兩條直線，所成的角為50°，為空間中給定的一個(gè)點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與直線，所成的角都是，則下列判斷中正確的是( )

①當(dāng)時(shí)，滿足題意的直線不存在；②當(dāng)時(shí)，滿足題意的直線有且只有1條；③當(dāng)時(shí)，滿足題意的直線有且只有2條；④當(dāng)時(shí)，滿足題意的直線有且只有3條.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)D是圓O：x2+y2＝16上的任意一點(diǎn)，m是過點(diǎn)D且與x軸垂直的直線，E是直線m與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線m上，且滿足2|EQ||ED|．當(dāng)點(diǎn)D在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程．

（2）已知點(diǎn)P（2，3），過F（2，0）的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，交直線x＝8于點(diǎn)M．判定直線PA，PM，PB的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若是公差不為0的等差數(shù)列，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）記，若存在，（），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為提倡節(jié)能減排，同時(shí)減輕居民負(fù)擔(dān)，廣州市積極推進(jìn)“一戶一表”工程非一戶一表用戶電費(fèi)采用“合表電價(jià)”收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：元度“一戶一表”用戶電費(fèi)采用階梯電價(jià)收取，其11月到次年4月起執(zhí)行非夏季標(biāo)準(zhǔn)如下：

第一檔

第二檔

第三檔

每戶每月用電量單位：度

電價(jià)單位：元度

例如：某用戶11月用電410度，采用合表電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)交電費(fèi)元，若采用階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)交電費(fèi)元．

為調(diào)查階梯電價(jià)是否能到“減輕居民負(fù)擔(dān)”的效果，隨機(jī)調(diào)查了該市100戶的11月用電量，工作人員已經(jīng)將90戶的月用電量填在下面的頻率分布表中，最后10戶的月用電量單位：度為：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．

（1）在答題卡中完成頻率分布表，并繪制頻率分布直方圖；

根據(jù)已有信息，試估計(jì)全市住戶11月的平均用電量同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；

設(shè)某用戶11月用電量為x度，按照合表電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)交元，按照階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)交元，請(qǐng)用x表示和，并求當(dāng)時(shí)，x的最大值，同時(shí)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)“階梯電價(jià)”能否給不低于的用戶帶來實(shí)惠？

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【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+|x+2|．

（1）當(dāng)a=1 時(shí)，求不等式f（x）≤5的解集；

（2）x0∈R，f（x0）≤|2a+1|，求a的取值范圍．

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【題目】我國(guó)在北宋年間（公元1084年）第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，即賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》.這些書中涉及的很多方面都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些“算法”如開立方和開四次方也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的高峰，哈三中圖書館中正好有這十本書，但是書名中含有“算”字的書都已經(jīng)借出，現(xiàn)在小張同學(xué)從剩余的書中任借兩本閱讀，那么他借到《數(shù)書九章》的概率為_______.

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【題目】設(shè)，，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)

（1）若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程；

（2）若直線過橢圓的左焦點(diǎn)，，求的面積．

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