【題目】已知橢圓：的離心率為，過其右焦點與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限交于點，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，，點是橢圓上的動點，且點與點，不重合，直線，與直線分別交于點，，求證：以線段為直徑的圓過定點.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由，得，又，且，聯(lián)立求解出、、的值，即可求出橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)點，由點在橢圓上和直線、的斜率求出，設(shè)直線、的方程，求出點和點的坐標，設(shè)圓過定點，為直徑，所以，化簡后即可得到定點.

（Ⅰ）由，得，

又因為，且，

得，，，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題意，點，點，

設(shè)點，則，得，

又設(shè)直線，的斜率分別為，，

則，，

所以，

∴直線：，直線：，

所以點，，

假設(shè)過定點，

由得

，

所以得，

令，得或，

所以過定點，.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的半焦距為，圓與橢圓有且僅有兩個公共點，直線與橢圓只有一個公共點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知動直線過橢圓的左焦點，且與橢圓分別交于兩點，試問：軸上是否存在定點，使得為定值?若存在，求出該定值和點的坐標；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知點、點及拋物線.

（1）若直線過點及拋物線上一點，當(dāng)最大時求直線的方程；

（2）軸上是否存在點，使得過點的任一條直線與拋物線交于點，且點到直線的距離相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，，求實數(shù)的值．

（2）若，，求正實數(shù)的取值范圍．

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，），在以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程是，等邊的頂點都在上，且點，，按照逆時針方向排列，點的極坐標為.

（Ⅰ）求點，，的直角坐標；

（Ⅱ）設(shè)為上任意一點，求點到直線的距離的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）當(dāng)直線與曲線相切時，求出常數(shù)的值；

（2）當(dāng)為曲線上的點，求出的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，求證：對于，恒成立；

（3）若存在，使得當(dāng)時，恒有成立，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成的二面角大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成面積為的等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線：與橢圓相交于，兩點，試問：在軸上是否存在點，使得為等邊三角形，若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

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