Question

（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，底面,,,分別是的中點，在上，且.

（1）求證：平面;

（2）在線段上上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析 （2）滿足條件的點存在，且

【解析】

試題分析：第（1）問證明平面，基本思路是證明與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，注意合理利用題設(shè)條件給出的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；第（2）問應(yīng)抓住兩點找到問題的求解方向：一是點的預(yù)設(shè)位置，二是二面角的位置．涉及空間二面角的問題，可以從兩個不同的方法上得到求解，即常規(guī)法和向量法．

試題解析：（1）由，，

是的中點，得．

因為底面，所以．

在中，，所以．

因此，又因為，

所以，

則，即.

因為底面，所以，又，

所以底面，則．

又，所以平面．

（2）解法1（常規(guī)法）：假設(shè)滿足條件的點存在，并設(shè)．

過點作交于點，

又由，，得平面．

作交于點，連結(jié)，則．

于是為二面角的平面角，

即，由此可得．

由，得，于是有，．

在中，，即，解得．

于是滿足條件的點存在，且.

（2）解法2（向量法）：假設(shè)滿足條件的點存在，并設(shè)．以為坐標(biāo)原點，分別以，

，為，，軸建立空間直線坐標(biāo)系，則，，，

．

由得．

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，則

，即，取，得，，即．

設(shè)平面的法向量為，則

，即，取，得，，即．

由二面角的大小為，得，

化簡得，又，求得.

于是滿足條件的點存在，且．

考點：線面關(guān)系的平行或垂直的證明及空間角的計算．