Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（-4，0），B（4，0），動(dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為-

1

4

．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得弦長(zhǎng)為

3

r．
（1）求圓M的方程；
（2）當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線l與動(dòng)圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由已知得

y

x+4

•

y

x-4

=-

1

4

，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）（1）由題意知：C（0，-2），A（-4，0），線段AC的垂直平分線方程為y=2x+3，由此能求出圓M的方程．
（2）假設(shè)存在定直線l與動(dòng)圓M均相切，當(dāng)定直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)定直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+b，則

|k× r 2 -3+b|

1+k2

=r對(duì)任意r＞0恒成立，由此能求出存在兩條直線y=3和4x+3y-9=0與動(dòng)圓M均相切．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè) P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則k_PA=

y

x+4

，x≠-4，
k_PB=

y

x-4

，x≠4，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為-

1

4

，所以

y

x+4

•

y

x-4

=-

1

4

，
化簡(jiǎn)得：

x2

16

+

y2

4

=1，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

16

+

y2

4

=1（x≠±4）…（6分）
（Ⅱ）（1）由題意知：C（0，-2），A（-4，0），
所以線段AC的垂直平分線方程為y=2x+3，…（8分）
設(shè)M（a，2a+3）（a＞0），
則⊙M 的方程為（x-a）²+（y-2a-3）²=r²，
因?yàn)閳A心M到y(tǒng)軸的距離d=a，由r2=d2+(

3 r

2

)2，得：a=

r

2

，…（10分）
所以圓M的方程為(x-

r

2

)2+(y-r-3)2=r2．…（11分）
（2）假設(shè)存在定直線l與動(dòng)圓M均相切，
當(dāng)定直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意，…（12分）
當(dāng)定直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+b，
則

|k× r 2 -3+b|

1+k2

=r對(duì)任意r＞0恒成立，
由|k×

r

2

-r-3+b|=r

1+k2

，得：
（

k

2

-1）²r²+（k-2）（b-3）r+（b-3）²=（1+k²）r²，…（14分）
所以

( k 2 -1)2=1+k2 (k-2)(b-3)=0 (b-3)2=0

，解得：

k=0 b=3

或

k=- 4 3 b=3

，
所以存在兩條直線y=3和4x+3y-9=0與動(dòng)圓M均相切．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)P的軌跡方程的求法，考查圓的方程的求法，考查當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線l與動(dòng)圓M均相切的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．