Question

如圖：在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)是棱D₁C₁上任意的兩點(diǎn)，且EF=

1

3

a，P是BC上的動點(diǎn)，則三棱錐E-APF的體積的最大值為

1

18

a3

．

Answer 1

分析：根據(jù)三棱錐E-APF的體積等于三棱錐P-AEF的體積，而三棱錐P-AEF的底面三角形AEF的面積是定值，從而當(dāng)三棱錐P-AEF的高最大時(shí)，其體積最大，而當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-AEF的高最大，根據(jù)錐體的體積公式進(jìn)行計(jì)算即得．

解答：解：由于三棱錐E-APF的體積等于三棱錐P-AEF的體積，
而三棱錐P-AEF的底面三角形AEF的面積S=

1

2

EF•AD₁=

1

2

×

1

3

a×

2

a=

2

6

a2是定值，
故當(dāng)三棱錐P-AEF的高最大時(shí)，其體積最大，
而當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-AEF的高最大，
最大為C到平面ABC₁D₁的距離h=

2

2

a，
故三棱錐P-AEF的體積的最大值為：V=

1

3

Sh=

1

3

×

2

6

a2×

2

2

a=

1

18

a3．
故答案為：

1

18

a3．

點(diǎn)評：本小題主要考查棱柱、棱錐、棱臺的體積、等體積法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力．屬于基礎(chǔ)題．