Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N*）．若S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，則 

a8

a2+a5

的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q、首項(xiàng)是a₁，根據(jù)公比q與1的關(guān)系進(jìn)行分類，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)所求的式子即可．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q、首項(xiàng)是a₁，
當(dāng)q=1時(shí)，有S₃=3a₁、S₉=9a₁、S₆=a₁，不滿足S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列；
當(dāng)q≠1時(shí)，因?yàn)镾₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，
所以2×

a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
化簡(jiǎn)得2q⁶-q³-1=0，解得q³=-

1

2

或q³=1（舍去），
則

a8

a2+a5

=

a1q7

a1q+a1q4

=

q6

1+q3

=

1

2

，
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式，分類討論思想，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)需要對(duì)公比與1的關(guān)系進(jìn)行討論．