【題目】已知拋物線,直線經過拋物線的焦點，且垂直于拋物線的對稱軸，與拋物線兩交點間的距離為4.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知，過的直線與拋物線相交于兩點，設直線與的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據拋物線中過焦點且與對稱軸垂直的弦長為4可得的值，進而得到拋物線的方程．（2）由題意直線的斜率存在，設其方程為，與拋物線方程聯(lián)立后求出兩點的坐標，結合根與系數(shù)的關系及斜率公式求出和，然后求出可證明為定值．

（1）由題意得拋物線的焦點為，

∴過焦點與對稱軸垂直的直線為，

∴直線與拋物線的兩個交點為，

由題意得，

∴拋物線的方程為．

（2）由題意直線的斜率存在，設其方程為，

由消去y整理得，

∵直線與拋物線交于兩點，

∴，解得或．

設，

則．

∴．

∴為定值，且定值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知， ，若，則對此不等式描敘正

確的是（ ）

A. 若，則至少存在一個以為邊長的等邊三角形

B. 若，則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形

C. 若，則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形

D. 若，則對滿足不等式的不存在以為邊長的直角三角形

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面⊥底面，若分別為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面．

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【題目】已知動點是圓： 上的任意一點，點與點的連線段的垂直平分線和相交于點.

（I）求點的軌跡方程；

（II）過坐標原點的直線交軌跡于點， 兩點，直線與坐標軸不重合. 是軌跡上的一點，若的面積是4，試問直線， 的斜率之積是否為定值，若是，求出此定值，否則，說明理由.

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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過點. 為橢圓的右焦點， 為橢圓上關于原點對稱的兩點，連接分別交橢圓于兩點.

⑴求橢圓的標準方程；

⑵若，求的值；

⑶設直線， 的斜率分別為， ，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】在平面直角坐標系中，已知平行于軸的動直線交拋物線： 于點，點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線， ， 軸都相切，設的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線， 分別與軸相交于點， .當線段的長度最小時，求的值.

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【題目】一個圓錐底面半徑為，高為，

（1）求圓錐的表面積.

（2）求圓錐的內接正四棱柱表面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】圓心在原點的兩圓半徑分別為，點是大圓上一動點，過點作軸的垂線，垂足為， 與小圓交于點，過作的垂線，垂足為，設點坐標為.

（1）求的軌跡方程；

（2） 已知直線： （是常數(shù)，且， ， 是軌跡上的兩點，且在直線的兩側，滿足兩點到直線的距離相等.平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出定點坐標；若不可能，說明理由.

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