在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AD=4,AB=2,PB=2
5
,PD=4
2
.E是PD的中點.
(1)求證:PB∥平面ACE;
(2)求證:AE⊥平面PCD;
(3)求PC與平面ACE所成角的正弦值.
考點:直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)連結(jié)BD,交AC于H,連結(jié)EH,由三角形中位線定理知EH∥PB,由此能證明PB∥平面ACE.
(2)由已知條件推導(dǎo)出PA⊥AD,PA⊥AB.從而得平面PAD⊥平面ABCD.再由CD⊥AD,得CD⊥AE.由此能證明AE⊥平面PCD.
(3)以A為原點,AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出PC與平面ACE所成角的正弦值.
解答: (1)證明:連結(jié)BD,交AC于H,連結(jié)EH,
∵底面ABCD是矩形,∴H是BD中點,
又E是PD的中點,∴EH∥PB,
∵EH?平面ACE,PB不包含于平面ACE,
∴PB∥平面ACE.
(2)證明:∵PA2+AD2=42+42=32,
PD2=(4
2
2=32,
∴三角形PAD是等腰直角三角形,∴PA⊥AD.
同理PA2+AB2=42+22=20,PB2=(2
5
2=20,
∴三角形PAB是直角三角形,∴PA⊥AB.
又AD∩AB=A,∴PA⊥平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥AD,
∴CD⊥平面PAD,∴AE?平面PAD,∴CD⊥AE.
∵E是PD的中點,三角形PAD是等腰直角三角形,
∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.
(3)解:如圖,以A為原點,
AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),C(2,4,0),
E(0,2,2),P(0,0,4),
AC
=(2,4,0),
AE
=(0,2,2),
設(shè)
n
=(x,y,z)是平面AEC的一個法向量,
則有
n
AC
=x+2y=0
n
AE
=y+z=0
,
令z=1得y=-1,x=2,即
n
=(2,-1,1),
PC
=(2,4,-4)

設(shè)PC與平面ACE所成角為θ,
則sinθ=|cos<
PC
n
>|=|
4-4-4
6
×
36
|=
6
9

∴PC與平面ACE所成角的正弦值是
6
9
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查直線與平面垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,解題時要注意向量法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
x+1,(0≤x<1)
log2x+1.5,(x≥1)
,存在x2>x1≥0使得f(x1)=f(x2),則x1•f(x2)的取值范圍( 。
A、[
3
4
,2)
B、[
3
2
,2)
C、[
3
4
,
4
3
D、[
2
3
,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出關(guān)于函數(shù)f(x)=
1
6
x2+
5
6
x,-5≤x<3
10-2x,3≤x≤5
的下列結(jié)論:
①若實數(shù)a,b,c互不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=d,則a+b+c+d=0;
②若f(x)≤k(x+5)對x∈[-5,5]恒成立,則k的值不可能小于
1
2

③滿足“當(dāng)x∈[m,n](n>m≥0)時f(x)相應(yīng)的值域恰好也是[m,n]”的實數(shù)對(m,n)有且僅有4對.
以上結(jié)論中,正確結(jié)論的個數(shù)為( 。
A、0B、1C、2D、3

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已知函數(shù)y=2|x|,x∈R
(1)作出其圖象;
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如圖,設(shè)四棱錐S-ACDE的底面為菱形,且∠ABC=60°,AB=SC=2,SA=SB=
2

(Ⅰ)求證:平面SAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設(shè)P為SD的中點,求三棱錐P-SAC的體積.

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(1)k=1時判斷圓C和直線的位置關(guān)系.
(2)若圓C上有且僅有三個點到l的距離為1,求實數(shù)k的值.

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(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+2C),求f(
π
3
)的值.

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1
2
AD.△APB是等腰三角形,∠APB=90°,H是AB中點,PC=PD.
(Ⅰ)證明:PH⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面PCD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.

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首項a1=
2
3
的數(shù)列{an}滿足:3nan+1-anan+1=2n2+2n(n∈N*
(1)求a2,a3的值,并求數(shù)列{
an-2n
an-n
}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,證明:Sn
n2
2
+
n
6

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