Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）求PC與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)BD，交AC于H，連結(jié)EH，由三角形中位線定理知EH∥PB，由此能證明PB∥平面ACE．
（2）由已知條件推導(dǎo)出PA⊥AD，PA⊥AB．從而得平面PAD⊥平面ABCD．再由CD⊥AD，得CD⊥AE．由此能證明AE⊥平面PCD．
（3）以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PC與平面ACE所成角的正弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)BD，交AC于H，連結(jié)EH，
∵底面ABCD是矩形，∴H是BD中點，
又E是PD的中點，∴EH∥PB，
∵EH?平面ACE，PB不包含于平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（2）證明：∵PA²+AD²=4²+4²=32，
PD²=（4

2

）²=32，
∴三角形PAD是等腰直角三角形，∴PA⊥AD．
同理PA²+AB²=4²+2²=20，PB²=（2

5

）²=20，
∴三角形PAB是直角三角形，∴PA⊥AB．
又AD∩AB=A，∴PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，∴AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵E是PD的中點，三角形PAD是等腰直角三角形，
∴AE⊥PD．又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．
（3）解：如圖，以A為原點，
AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），C（2，4，0），
E（0，2，2），P（0，0，4），

AC

=（2，4，0），

AE

=（0，2，2），
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面AEC的一個法向量，
則有

n • AC =x+2y=0 n • AE =y+z=0

，
令z=1得y=-1，x=2，即

n

=（2，-1，1），

PC

=(2，4，-4)，
設(shè)PC與平面ACE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

PC

，

n

＞|=|

4-4-4

6 × 36

|=

6

9

．
∴PC與平面ACE所成角的正弦值是

6

9

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．