Question

如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，BC=CD=

1

2

AD．△APB是等腰三角形，∠APB=90°，H是AB中點，PC=PD．
（Ⅰ）證明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面PCD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取CD中點G，連接PG，HG，證明PH⊥AB，CD⊥PH，利用線面垂直的判定定理證明PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面PBC的法向量、平面PDC的一個法向量，利用向量的夾角公式求平面PCD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取CD中點G，連接PG，HG．
∵PC=PD，CD中點G，
∴PG⊥CD．
∵△APB是等腰直角三角形，H是AB中點，
∴PH⊥AB，HG∥AD．∵BC∥AD，BC⊥CD，
∴HG⊥CD，…（4分）
HG∩PG=G，HG?平面PHG，PG?平面PHG，
∴CD⊥平面PHG．PH?平面PHG，∴CD⊥PH．
∵AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，AB和CD相交，
∴PH⊥平面ABCD．                                        …（6分）
（Ⅱ）解：連接BD，由勾股定理可知AB⊥BD．建立如圖所示的空間直角坐標系，設BC=CD=

1

2

AD=2
則點B（0，0，0），D（0，2

2

，0），C（-

2

，

2

，0），P（

2

，0，

2

），…（8分）
設平面PBC的法向量

m

=（x，y，z），則
∵

BC

=（-

2

，

2

，0），

PC

=（-2

2

，

2

，-

2

），
∴

-2 2 x+ 2 y- 2 z=0 - 2 x+ 2 y=0

．
∴平面PBC的一個法向量為

m

=（1，1，-1）．
同理平面PDC的一個法向量為

n

=（1，-1，-3）…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1-1+3

3 • 11

=

33

11

                …（12分）

點評：本題主要考查四棱錐的有關知識，涉及線面、面面位置關系的判定與證明，還有二面角的計算．高考立體幾何綜合題大都以棱柱和棱錐為載體，綜合考查空間想象能力和分析、解決問題的能力．空間角的計算一般有傳統(tǒng)法和坐標向量法兩種基本方法，前者著重思維，后者重在向量的坐標運算，各有優(yōu)點，解題時既要具體問題具體分析，又要考慮到考生本人對這兩種方法掌握的熟練程度而定．