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6.已知拋物線C:x2=2py(p>0)過點(2,1),直線l過點P(0,-1)與拋物線C交于A、B兩點,點A關(guān)于y軸的對稱點為A′,連接A′B
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)問直線A'B是否過定點?若是,求長定點坐標(biāo);若不是,請說明理由.

分析 (1)利用點的坐標(biāo)在曲線上,代入求解即可.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A'(-x1,y1),聯(lián)立直線與拋物線方程,利用韋達定理以及判別式,求出直線的斜率,推出直線方程,利用直線系求解即可.

解答 解:(1)將點(2,1)代入拋物線x2=2py的方程得,p=2,
所以,拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.                   …(4分)
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A'(-x1,y1),
{y=14x2y=kx1得x2-4kx+4=0,則△=16k2-16>0,x1•x2=4,x1+x2=4k,
所以kAB=y2y1x2x1=x224x124x1+x2=x2x14,
于是直線A'B的方程為yx224=x2x14xx2,…(8分)
所以,y=x2x14xx2+x224=x2x14x+1,當(dāng)x=0時,y=1,
所以直線A'B過定點(0,1).     …(10分)

點評 本題考查拋物線方程的求法,直線與拋物線的位置關(guān)系,直線系方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若函數(shù)F(x)=f(max{-x,2x-x2})+f(-k)+1(其中max\{a,b\}=\left\{\begin{array}{l}a,a≥b\\ b,a<b\end{array})有三個不同的零點x1,x2,x3,求u=(x1+x2+x3)+x1x2x3的取值范圍.

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