分析 (1)利用點的坐標(biāo)在曲線上,代入求解即可.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A'(-x1,y1),聯(lián)立直線與拋物線方程,利用韋達定理以及判別式,求出直線的斜率,推出直線方程,利用直線系求解即可.
解答 解:(1)將點(2,1)代入拋物線x2=2py的方程得,p=2,
所以,拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y. …(4分)
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A'(-x1,y1),
由{y=14x2y=kx−1得x2-4kx+4=0,則△=16k2-16>0,x1•x2=4,x1+x2=4k,
所以kA′B=y2−y1x2−(−x1)=x224−x124x1+x2=x2−x14,
于是直線A'B的方程為y−x224=x2−x14(x−x2),…(8分)
所以,y=x2−x14(x−x2)+x224=x2−x14x+1,當(dāng)x=0時,y=1,
所以直線A'B過定點(0,1). …(10分)
點評 本題考查拋物線方程的求法,直線與拋物線的位置關(guān)系,直線系方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
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