Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中點，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求證：DM∥平面SAB；
（2）求四棱錐M-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取SB的中點N，證明四邊形MNAD是平行四邊形，即可證明DM∥平面SAB；
（2）證明側(cè)棱SA⊥底面ABCD，利用錐體的體積公式，可求四棱錐M-ABCD的體積．

解答： （1）證明：取SB的中點N，連接AN、MN…（2分）

∵點M是SC的中點∴MN∥BC且BC=2MN，
∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，BC=2，AD=1，
∴AD∥BC且BC=2AD，∴MN∥AD且MN=AD，
∴四邊形MNAD是平行四邊形，∴DM∥AN，…（4分）
∴DM∥平面SAB．…（6分）
（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA?底面SAD，AD?底面SAD，
∴AB⊥SA，AB⊥AD，
∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線
∴側(cè)棱SA⊥底面ABCD     …（8分）
又在四棱錐S-ABCD中，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，
又M是SC的中點．
∴VM-ABCD=

1

2

VS-ABCD=

1

2

•

1

3

•SABCD•SA=

1

2

•

1

3

•

(2+1)•2

2

•2=1…（12分）

點評：本題考查四棱錐的體積，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．