Question

．(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)f (x)=lnx，g(x)=e^x．
( I)若函數(shù)φ (x) = f (x)－，求函數(shù)φ (x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)A(x₀，f (x₀))處的切線(xiàn)．證明：在區(qū)間(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=g(x)相切．

Answer 1

解：（Ⅰ） ，
．·················· 2分
∵且，
∴
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．··············· 4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切線(xiàn)的方程為,
即, 　�、� ··················· 6分
設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，
∵，∴，∴．··············· 8分
∴直線(xiàn)也為，
即， ②···················· 9分
由①②得 ，
∴．·························· 11分
下證：在區(qū)間（1，+）上存在且唯一.
由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．
又，，······ 13分
結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說(shuō)明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個(gè)根就是所求的唯一．                                               
故結(jié)論成立．

略