Question

已知直線l：y=

3

（x-2）過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，且△OMN的面積S=

2

3

6

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線m的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線l：y=

3

（x-2）過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，可得該焦點(diǎn)為（2，0），可得c．經(jīng)過原點(diǎn)且垂直于直線l的方程為y=-

3

3

x，兩條直線方程聯(lián)立，解得x=

3

2

，由于橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，可得

a2

c

=2×

3

2

，即可解得a，b．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．設(shè)直線m的方程為x=ty-2，聯(lián)立與橢圓方程聯(lián)立可得（3+t²）y²-4ty-2=0，y1+y2=

4t

3+t2

，y1y2=

-2

3+t2

．利用|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

24(t2+1)

t2+3

．S_△OMN=

1

2

|OE||y1-y2|，解出t即可．

解答： 解：（1）直線l：y=

3

（x-2）過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，
∴該焦點(diǎn)為（2，0），∴c=2．
經(jīng)過原點(diǎn)且垂直于直線l的方程為y=-

3

3

x，聯(lián)立

y=- 3 3 x y= 3 (x-2)

，解得x=

3

2

，
∵橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，
∴

a2

c

=2×

3

2

，化為a²=3c．
∴a²=6，∴b²=2．
∴橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．設(shè)直線m的方程為x=ty-2，聯(lián)立

x=ty-2 x2+3y2=6

，
化為（3+t²）y²-4ty-2=0，
則y1+y2=

4t

3+t2

，y1y2=

-2

3+t2

．
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

24(t2+1)

t2+3

．
∵S_△OMN=

1

2

|OE||y1-y2|，
∴

1

2

×2×

24(t2+1)

3+t2

=

2 6

3

，解得t=0或t=±

3

．
故所求的方程為x=-2，或x±

3

y+2=0．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長關(guān)系、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．