Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小；
（3）求點(diǎn)B到平面CMN的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)SD、DB，證明AC⊥平面SDB，即可證明AC⊥SB；
（2）過N點(diǎn)作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，過E點(diǎn)作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，則NF⊥CM，可得∠NFE為二面角N-CM-B的平面角，即可求二面角N-CM-B的大小；
（3）由V_B-CMN=V_N-BCM求點(diǎn)B到平面CMN的距離．

解答： （1）證明：取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)SD、DB，
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD，AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，
∵SB?平面SDB，
∴AC⊥SB；
（2）解：∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC，
過N點(diǎn)作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，
過E點(diǎn)作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，則NF⊥CM，∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角，
∵NE=

1

2

SD=

2

，EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

，∴∠NFE=arctan2

2

（3）解：在Rt△NEF中，NF=

EF2+EN2

=

3

2

，
S△CMN=

1

2

CM•NF=

3 3

2

，S△CMB=

1

2

BM•CM=2

3

，
設(shè)B到平面CMN的距離為h，由V_B-CMN=V_N-BCM得

1

3

•

3 3

2

•h=

1

3

×2

3

×

2

，
∴h=

4 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定，考查平面與平面所成的角，考查體積公式的運(yùn)用，屬于中檔題．