Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)于n∈N^*，總有a_n，s_n，a_n²成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

an•an+2

（n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得2a_n=a_n-a_n-1+an2-an-12，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，得a_n-a_n-1=1，由此能求出a_n=n．
（2）b_n=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜

3

4

．

解答： （1）解：由已知得2Sn=an+an2，①
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1+an-12，②
①-②，得2a_n=a_n-a_n-1+an2-an-12，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1，
又n=1時(shí)，2a1=a1+a12，解得a₁=1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴a_n=n．
（2）證明：∵b_n=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．