Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S₄=16．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

(an+3)•(an+1+3)

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求出公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ求出b_n=

1

(an+3)•(an+1+3)

的通項公式，利用裂項法即可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，S₄=16．
∴S₄=4a₁+

4×3

2

d=4+6d=16．
即6d=12，解得d=2，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）∵a_n=2n-1；
∴b_n=

1

(an+3)•(an+1+3)

=

1

(2n-1+3)(2n+1+3)

=

1

(2n+2)(2n+4)

=

1

4

•

1

(n+1)(n+2)

=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+2

），
則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

1

4

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

4

（

1

2

-

1

n+2

）=

1

8(n+2)

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用，以及利用裂項法求和，要求熟練掌握求和的常見方法．