Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在點(diǎn)x₀處取得極小值-7，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），（2，0），如圖所示，試求x₀，a，b，c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由y=f′（x）的圖象可知，在（-∞，-1）上f′（x）＜0，在（-1，2）上f′（x）＞0，在（2，+∞）上f′（x）＜0，由此能求出x₀，a，b，c的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，
∴y′=3ax²+2bx+c，
由y=f′（x）的圖象可知，
在（-∞，-1）上f′（x）＜0，在（-1，2）上f′（x）＞0，
在（2，+∞）上f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減．
因此，f（x）在x=-1處取得極小值，
所以x₀=-1．
∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c．
故由f′（-1）=0，f′（2）=0，f（-1）=-7，
解得a=-2，b=3，c=12．

點(diǎn)評：本題考查x₀，a，b，c的值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．