【題目】已知函數f(x)=x3﹣x2+x,a∈R.
(Ⅰ)當a=1時,求f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[,2]上單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅲ)當m<0時,試判斷函數g(x)=-其中f′(x)是f(x)的導函數)是否存在零點,并說明理由.
【答案】(Ⅰ), (Ⅱ)(Ⅲ)見解析
【解析】
(Ⅰ)求出,對的正負判斷,從而確定函數的單調性,即可求得函數的最值。
(Ⅱ)轉化成在區(qū)間[,2]恒成立,再參變分離,轉化成函數最值問題,利用基本不等式求最值即可。
(Ⅲ)將所求問題化簡轉化成方程在內是否有解,利用導數說明函數的單調性,再由即可判斷原函數不存在零點。
(Ⅰ)當時,,
,
令得或.
當x變化時,,f(x)的變化情況如下表:
x | |||||
+ | 0 | ||||
f(x) | 單調遞增↗ | 極大值 | 單調遞減↘ |
∴,
.
(Ⅱ)
∵在上是單調遞增函數,
∴在上恒成立.
即:.
∵,
∴當且僅當時,成立.
∴
(Ⅲ)由題意可知,,
要判斷是否存在零點,只需判斷方程在內是否有解,
即要判斷方程在內是否有解.
設,
,
可見,當時,在上恒成立.
∴在上單調遞減,在上單調遞減.
∵,
∴在和內均無零點。
故函數g(x)=-無零點
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【題目】如圖,為方便金湖縣人民游覽三河風景區(qū)附近的“網紅橋”,現準備在河岸一側建造一個觀景臺A,已知射線PM, PN為兩邊夾角為120°的公路(長度均超過5千米),在兩條公路PM,PN上分別設立游客上下點B、C,在觀景臺A和游客上下點B、C之間和游客上下點B、C之間分別建造三條觀光線路AB,AC,BC,測得PB=3干米,PC=5千米.
(1)求線段BC的長度;
(2)若∠BAC= 60°,因政府要計算修建三條觀光線路所需費用,所以要計算AB,AC,BC三條線路的總長度的取值范圍,請你建立合適的數學模型,幫助政府解決這個問題.
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【題目】已知函數f(x)=(2x-x2)ex-1.
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)若對任意x≥1,都有f(x)-mx-1+m≤0恒成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】已知函數 有極值,且函數的極值點是的極值點,其中是自然對數的底數.(極值點是指函數取得極值時對應的自變量的值)
(1)求關于的函數關系式;
(2)當時,若函數的最小值為,證明: .
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【題目】已知,是兩條不同直線,,是兩個不同平面,則下列命題正確的是 ( )
A. 若,垂直于同一平面,則與平行
B. 若,則
C. 若,不平行,則在內不存在與平行的直線
D. 若,不平行,則與不可能垂直于同一平面
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【題目】某市創(chuàng)業(yè)園區(qū)新引進一家生產環(huán)保產品的公司,已知該環(huán)保產品每售出1盒的利潤為0.3萬元,當月未售出的環(huán)保產品,每盒虧損0.12萬元.根據統(tǒng)計資料,該環(huán)保產品的市場月需求量的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若該環(huán)保產品的月進貨量為160盒,以(單位:盒,)表示該產品一個月內的市場需求量,(單位:萬元)表示該公司生產該環(huán)保產品的月利潤.
①將表示為的函數;
②根據頻率分布直方圖估計利潤不少于39.6萬元的概率.
(2)在頻率分布直方圖的月需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的月需求量,當月進貨量為158箱時,寫出月利潤(單位:萬元)的所有可能值.
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