Question

某校學(xué)生研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，學(xué)生上課的注意力指標(biāo)隨著聽課時(shí)間的變化而變化．老師講課開始時(shí)學(xué)生的興趣激增，接下來學(xué)生的興趣將保持較理想的狀態(tài)一段時(shí)間，隨后學(xué)生的注意力開始分散．該小組發(fā)現(xiàn)注意力指標(biāo)f（t）與上課時(shí)刻第t分鐘末的關(guān)系如下（t∈（0，40]，設(shè)上課開始時(shí)，t=0）：
f（t）=

100a t 10 -60(0＜t≤10) 340(10＜t≤20) -15t+640(20＜t≤40)

（a＞0且a≠1）．若上課后第5分鐘末時(shí)的注意力指標(biāo)為140，
（1）求a的值；
（2）上課后第5分鐘末和下課前5分鐘末比較，哪個(gè)時(shí)刻注意力更集中？
（3）在一節(jié)課中，學(xué)生的注意力指標(biāo)至少達(dá)到140的時(shí)間能保持多長？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，100•a

5

10

-60=140，從而求a的值；
（2）上課后第5分鐘末時(shí)f（5）=140，下課前5分鐘末f（35）=-15×35+640=115，從而可得答案；
（3）分別討論三段函數(shù)上f（t）≥140的解，從而求出f（t）≥140的解，從而求在一節(jié)課中，學(xué)生的注意力指標(biāo)至少達(dá)到140的時(shí)間能保持的時(shí)間．

解答： 解：（1）由題意得，當(dāng)t=5時(shí)，f（t）=140，
即100•a

5

10

-60=140，
解得，a=4；
（2）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，
由于f（5）＞f（35），
故上課后第5分鐘末比下課前5分鐘末注意力更集中；
（3）①當(dāng)0＜t≤10時(shí)，
由（1）知，f（t）≥140的解集為[5，10]，
②當(dāng)10＜t≤20時(shí)，f（t）=340＞140，成立；
③當(dāng)20＜t≤40時(shí)，-15t+640≥140，
故20＜t≤

100

3

，
綜上所述，5≤t≤

100

3

，
故學(xué)生的注意力指標(biāo)至少達(dá)到140的時(shí)間能保持

100

3

-5=

85

3

分鐘．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬于中檔題．