Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+1滿足f（﹣1）=0，且x∈R時，f（x）的值域為[0，+∞）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設函數g（x）=f（x）﹣2kx，k∈R． ①若g（x）在x∈[﹣2，2]時是單調函數，求實數k的取值范圍；
②若g（x）在x∈[﹣2，2]上的最小值g（x）min=﹣15，求k值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得： ，得 ，

所以f（x）=x2+2x+1

（2）解：①g（x）=x2﹣2（k﹣1）x+1；

所以k﹣1≤﹣2或k﹣1≥2，即k≤﹣1或k≥3；

②當k﹣1≤﹣2即k≤﹣1時，g（x）min=g（﹣2）=4k+1=﹣15，得k=﹣4；

當k﹣1≥2即k≥3時，g（x）min=g（2）=9﹣4k=﹣15，得k=6；

當﹣2＜k﹣1＜2即﹣1＜k＜3時， ，得k=﹣3（舍）或k=5（舍）

綜上k=﹣4或k=6．

【解析】（1）由題意可得f（﹣1）=0，判別式為0，解方程可得a=1，b=2，進而得到函數的解析式；（2）①根據二次函數的性質即可求出k的范圍． ②需要分類討論，根據二次函數的性質即可求出k的值．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．