Question

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，如果存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有，且恒成立，則稱函數(shù)為上的“的型增函數(shù)”，已知是定義在上的奇函數(shù)，且在時(shí)， ，若為上的“2017的型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=|xa|2a，

∴，

又f(x)為R上的“2017型增函數(shù)”，

(1)當(dāng)x>0時(shí)，由定義有|x+2017a|2a>|xa|2a，

即|x+2017a|>|xa|，其幾何意義為到點(diǎn)a小于到點(diǎn)a2017的距離，

由于x>0,故可知a+a2017<0得

當(dāng)x<0時(shí)，

①若x+2017<0，則有|x+2017+a|+2a>|x+a|+2a，

即|x+a|>|x+2017+a|，其幾何意義表示到點(diǎn)a的距離小于到點(diǎn)a2017的距離，

由于x<0,故可得aa2017>0,得；

②若x+2017>0，則有|x+2017a|2a>|x+a|+2a，

即|x+a|+|x+2017a|>4a，其幾何意義表示到到點(diǎn)a的距離與到點(diǎn)a2017的距離的和大于4a，

(2)當(dāng)a0時(shí)，顯然成立，當(dāng)a>0時(shí)，由于|x+a|+|x+2017+a||aa+2017|=|2a2017|，

故有|2a2017|>4a,必有20172a>4a,解得，

綜上,對(duì)x∈R都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是，即 .