已知數(shù)列{an}滿足a1=
1
4
,(1-an)an+1=
1
4
.令bn=an-
1
2

(1)求證:數(shù)列{
1
bn
}為等差數(shù)列;
(2)求和:Sn=
a2
a1
+
a3
a2
+…+
an+1
an
考點:數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)根據(jù)已知條件對關(guān)系式進行恒等變換,會進一步利用定義證明數(shù)列是等差數(shù)列.
(2)利用(1)的結(jié)論,進一步求出數(shù)列的通項公式,對關(guān)系式進行恒等變換,最后利用裂項相消法求出數(shù)列的和.
解答: 解:(1)已知數(shù)列滿足關(guān)系式:(1-an)an+1=
1
4

所以:1-an=
1
4an+1
,
則:an-1=-
1
4an+1
,
所以:an-
1
2
=
1
2
-
1
4an+1
=
2an+1-1
4an+1
=
2(an+1-
1
2
)
4an+1


則:
1
an-
1
2
=
2an+1
an+1-
1
2
=
2an+1-1+1
an+1-
1
2
=2+
1
an+1-
1
2

由于:bn=an-
1
2

所以:bn+1=an+1-
1
2

1
bn+1
-
1
bn
=-2
(常數(shù))
所以:數(shù)列{
1
bn
}是等差數(shù)列.
(2)由(1)得:
1
an-
1
2
=
1
a1-
1
2
-2(n-1)

整理得:an=
1
2
(
n
n+1
)

所以:
an+1
an
=1+
1
n(n+2)
=1+
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)

Sn=
a2
a1
+
a3
a2
+…+
an+1
an

=(1+1+…+1)+
1
2
(1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
…+
1
n-1
-
1
n+1
+
1
n
-
1
n+2

=n+
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)

=n+
1
2
(
3
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)
點評:本題考查的知識要點:遞推關(guān)系式的恒等變換,利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列,裂項相消法的應(yīng)用.屬于中等題型.
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1
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x2
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3
-
2

(1)求橢圓的方程;
(2)過點(0,
2
)且斜率k為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P,Q,設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在k,使得向量
OP
+
OQ
AB
共線?若存在,試求出k的值;若不存在,請說明理由.

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