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已知定義在R上的函數f（x）是奇函數，且方程f（x+2）=0有2011個實數解在，則2011個實數解之和為
 
．
考點：數列的求和,函數的零點與方程根的關系
專題：函數的性質及應用
分析：先由函數f（x）是定義在R上的奇函數確定0是f（x）=0的一個零點，根據奇函數的對稱性，得出其他非0的零點關于原點對稱，從而得出函數f（x）的所有零點的和，進而可求得方程f（x+2）=0的2011個實數解之和．
解答： 解：∵f（x）是R上的奇函數，
∴0是函數y=f（x）的零點．
其他非0的零點關于原點對稱．
設函數f（x）的2011個零點為x1，x2，…，x2011，
∴x1+x2+…+x2011=0．
∴f（x+2）=0的2011個實數解為x1-2，x2-2，…，x2011-2，
∴（x1-2）+（x2-2）+…（x2011-2）=（x1+x2+…+x2011）-2×2011=-4022．
故答案為：-4022．
點評：函數的奇偶性是函數最重要的性質之一，同時函數的奇偶性往往會和其他函數的性質結合應用，此題就與函數的零點結合，符合高考題的特點
練習冊系列答案
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A、{0}B、{-3，2}
C、{-1，-3}D、ϕ

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5π
3
的正弦、余弦和正切值．

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2
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2
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8
5
），
π
4
＜a＜
3π
4
，求f（
π
4
+a）的值．

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（1）若f（x）滿足f（x）=f（2-x），且方程有兩個相等的實數根，求函數的解析式；
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已知圓C：（x+1）2+y2=8及點D（1，0），E為圓上一點，DE的垂直平分線交CE于M，M點的軌跡記作曲線F，曲線F與x軸、y軸正半軸的交點分別為A，B．
（1）求曲線F的方程；
（2）設斜率為k的直線l經過點(0，
2
)，且與曲線F交于P，Q兩點，是否存在常數k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線（O為坐標原點）？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由．

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