Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8及點(diǎn)D（1，0），E為圓上一點(diǎn)，DE的垂直平分線交CE于M，M點(diǎn)的軌跡記作曲線F，曲線F與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B．
（1）求曲線F的方程；
（2）設(shè)斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)(0，

2

)，且與曲線F交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意DE的垂直平分線交CE于M，運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)，可得CE|=|CM|+|ME|=|MC|+|MD|=2

2

＞|CD|，再由橢圓的定義，即可得到軌跡F的方程；
（2）由已知知直線的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+

2

，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，由判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理，運(yùn)用向量的坐標(biāo)和共線定理，即可得到斜率k，再加以檢驗(yàn)即可判斷．

解答： 解：（1）由題意DE的垂直平分線交CE于M，
于是|CE|=|CM|+|ME|=|MC|+|MD|=2

2

＞|CD|，
所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C，D為焦點(diǎn)的橢圓，且a=

2

，c=1，所以b²=1，
故點(diǎn)的軌跡方程是：

x2

2

+y2=1；
（2）由已知知直線的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+

2

，
將其代入橢圓方程，整理得，（

1

2

+k²）x²+2

2

kx+1=0①
直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，所以△=8k²-4（

1

2

+k²）=4k²-2＞0，
解得k＞

2

2

或k＜-

2

2

②
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），由①得，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

，又A（

2

，0），B（0，1），

AB

=（-

2

，1），
所以

OP

+

OQ

與

AB

共線等價(jià)為x₁+x₂=-

2

λ，y₁+y₂=λ，
即x₂+x₁=-

2

（y₁+y₂）=-

2

k（x₁+x₂）-4，
所以（1+

2

k）（x₁+x₂）=-4，
解得k=

2

2

不滿足②，
所以滿足條件的直線不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、性質(zhì)和方程，考查定義法求軌跡方程的方法，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．