Question

【題目】已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相切與點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）以線段，為鄰邊作平行四邊形，若點(diǎn)在橢圓上，且滿(mǎn)足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否為定值，如果是，求的值；如果不是，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）是定值，.

【解析】

（1）把兩點(diǎn)，代入方程可得橢圓的方程；

（2）先根據(jù)直線和圓相切，求出，然后聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)和在橢圓上可得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）根據(jù)直線和圓相切可以表示出切點(diǎn)坐標(biāo)，把轉(zhuǎn)化為，結(jié)合向量運(yùn)算及韋達(dá)定理可求.

（1）因?yàn)闄E圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，

所以，解得，所以橢圓的方程為.

（2）因?yàn)橹本�：與圓相切，所以，

即①.

由得.

設(shè)，則，

.

由向量加法的平行四邊形法則，得，

因?yàn)?/span>所以.

由題意易知，

設(shè)，則，

，即.

因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，

整理得②

由可得，所以， ，即或.

由①②可得，令，則，

因?yàn)?/span>所以，解得或，

綜上可得.

（3）由（2）知，

設(shè)，則，由為切點(diǎn)可知,所以，

解得.

.

所以是定值且定值為.