Question

【題目】對于若數(shù)列滿足則稱這個數(shù)列為“數(shù)列”.

（Ⅰ）已知數(shù)列1, 是“數(shù)列”,求實數(shù)的取值范圍;

（Ⅱ）是否存在首項為的等差數(shù)列為“數(shù)列”,且其前項和使得恒成立?若存在,求出的通項公式;若不存在,請說明理由;

（Ⅲ）已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”,數(shù)列不是“數(shù)列”,若試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”,并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目中所定義的“數(shù)列”，只需同時滿足，解不等式可解m范圍。（2）由題意可知，若存在只需等差數(shù)列的公差，即< ,代入n=1,n>1,矛盾。（3）設數(shù)列的公比為則， ，滿足“數(shù)列”，即只需最小項即不是“數(shù)列”,且為最小項,

所以即,所以只能只有解或分兩類討論數(shù)列。

試題解析：（Ⅰ）由題意得

解得

所以實數(shù)的取值范圍是

（Ⅱ假設存在等差數(shù)列符合要求,設公差為則

由得

由題意,得對均成立,即

①當時,

②當時,

因為

所以與矛盾,

所以這樣的等差數(shù)列不存在.

（Ⅲ）設數(shù)列的公比為則

因為的每一項均為正整數(shù),且

所以在中,“”為最小項.

同理, 中,“”為最小項.

由為“數(shù)列”,只需即

又因為不是“數(shù)列”,且為最小項,

所以即,

由數(shù)列的每一項均為正整數(shù),可得

所以或

①當時, 則

令則

又

所以為遞增數(shù)列,即

所以

所以對于任意的都有

即數(shù)列為“數(shù)列”.

②當時, 則

因為

所以數(shù)列不是“數(shù)列”.

綜上:當時,數(shù)列為“數(shù)列”,

當時, 數(shù)列不是“數(shù)列”.