已知函數(shù)f(x)=x+x3,x∈R.
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)若a,b∈R,且a+b>0,試比較f(a)+f(b)與0的大小.
[解析] (1)函數(shù)f(x)=x+x3,x∈R是增函數(shù),
證明如下:
任取x1,x2∈R,且x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=(x1+x)-(x2+x
)=(x1-x2)+(x
-x
)=(x1-x2)(x
+x1x2+x
+1)
=(x1-x2)[(x1+x2)2+
x
+1].
因?yàn)?i>x1<x2,所以x1-x2<0,(x1+x2)2+
x
+1>0.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以函數(shù)f(x)=x+x3,x∈R是增函數(shù).
(2)由a+b>0,得a>-b,由(1)知f(a)>f(-b),
因?yàn)?i>f(x)的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,
又f(-x)=(-x)+(-x)3=-x-x3
=-(x+x3)=-f(x),
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
于是有f(-b)=-f(b),所以f(a)>-f(b),從而f(a)+f(b)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
擲三枚骰子,利用Excel軟件進(jìn)行隨機(jī)模擬,試驗(yàn)20次,計(jì)算出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和是9的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C分別在函數(shù)y=logx,y=x
,y=(
)x的圖象上,且矩形的邊分別平行于兩坐標(biāo)軸.若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
若函數(shù)y=的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A.(0,) B.(
,+∞)
C.(-∞,0) D.[0,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),已知x≥0時(shí),f(x)=x2-2x.
(1)畫出偶函數(shù)f(x)的圖像;
(2)根據(jù)圖像,寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間;同時(shí)寫出函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
函數(shù)f(x)=ax+b的零點(diǎn)是-1(a≠0),則函數(shù)g(x)=ax2+bx的零點(diǎn)是( )
A.-1 B.0
C.-1和0 D.1和0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)的圖象如圖,則它的一個(gè)可能的解析式為( )
A.y=2 B.y=4-
C.y=log3(x+1) D.y=x(x≥0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<-1或x>},則f(10x)>0的解集為( )
A.{x|x<-1或x>-lg2} B.{x|-1<x<-lg2}
C.{x|x>-lg2} D.{x|x<-lg2}
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