Question

1.     已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中，是對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)。A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)，M是線段A₁A₂的中點(diǎn)．

(1) 若三角形是底邊F₁F₂長(zhǎng)為6，腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，求“果圓”的方程；

(2)若“果圓”方程為：，過F₀的直線l交“果圓”于y軸右邊的Q，N點(diǎn)，求△OQN的面積S_△OQN的取值范圍

(3) 若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）

（3）或

【解析】(I)∵

        ∴，，

        于是，c²=16，a²=b²+c²=41，

        所求“果圓”方程為，

     (Ⅱ)①若直線l的斜率k存在，則由圖可知，k²>3．設(shè)直線l的方程為：y=k(x-1)，設(shè)點(diǎn)Q，N的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)

        由消x，得

∴，

∴

∵[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]

②若直線l⊥x軸，則︱QN︱=3，故

綜上，得

（3）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)．設(shè)，則

    

           ，

     ， 的最小值只能在或處取到．

     即當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處．

，且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上當(dāng)位于“果圓”的半橢圓上時(shí)．             

    [來源:Zxxk.Com]

              ．

    當(dāng)，即時(shí)，的最小值在時(shí)取到，

此時(shí)的橫坐標(biāo)是．                                       

    當(dāng)，即時(shí)，由于在時(shí)是遞減的，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是．                               

    綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．