Question

2．已知函數$f（x）=2cosx（{cosx+\sqrt{3}sinx}）+a（{a∈R}）$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，f（x）的最小值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角、輔助角公式，化簡函數，即可求f（x）的最小正周期；
（2）當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用f（x）的最小值為2，求a的值．

解答 解：（1）函數$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+a=cos2x+1+\sqrt{3}sin2x+a$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$，…（4分）
∴f（x）的最小正周期為π；
（2）當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f（x）的最小值為-1+a+1=2，∴a=2．

點評 本題考查二倍角、輔助角公式，化簡函數，考查函數的性質，屬于中檔題．