Question

若關(guān)于直線y=k（x-1）對稱的兩點M，N均在圓C：（x+3）²+（y-4）²=16上，且直線MN與圓x²+y²=2相切，則直線MN的方程是

 

．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：由對稱性可知圓心C在直線y=k（x-1）上，求出k的值，利用直線垂直關(guān)系求出MN的斜率，利用直線和圓相切即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵關(guān)于直線y=k（x-1）對稱的兩點M，N均在圓C上，
∴圓心C（-3，4）在直線y=k（x-1）上，且MN垂直直線y=k（x-1），
即4=（-3-1）k=-4k，
解得k=-1，
∴MN的斜率k=1，
設(shè)直線MN的方程為y=x+b，即x-y+b=0，
∵直線MN與圓x²+y²=2相切，
∴圓心O到直線的距離d=

|b|

2

=

2

，
即|b|=2，解得b=2或b=-2，
∵M(jìn)，N均在圓C上，
∴圓心C到直線的距離d=

|-3-4+b|

2

＜4，
即|b-7|＜4

2

，
即7-4

2

＜b＜7+4

2

，
故b=-2不滿足條件，
故b=2，
直線MN的方程是y=x+2，
故答案為：y=x+2

點評：本題主要考查直線方程的求解，根據(jù)條件求出k的值，以及利用直線和圓相切的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．