Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別a，b，c，給出下列命題：
①A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC；
②必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
③若tanAtanB＞1，則△ABC一定是鈍角三角形；
④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有兩解．
其中真命題個數為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：解三角形,簡易邏輯

分析：①由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，由A＞B＞C，可得a＞b＞c，即可得出；
②當C≠

π

2

或A≠

π

2

，B≠

π

2

時，利用兩角和差的正切公式可得tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，當A，B，C，有一個為

π

2

時，tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC無意義；
③由tanAtanB＞1，可得tanA＞0，tanB＞0，-tanC=tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanC

＜0，可得tanC＞0，即可判斷出；
④由asinB=40×sin25°＜40×sin30°=20=b即可判斷出．

解答： 解：對于①，由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，∵A＞B＞C，∴a＞b＞c，∴sinA＞sinB＞sinC，正確；
對于②，當C≠

π

2

或A≠

π

2

，B≠

π

2

時，-tanC=tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanC

，則tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，當A，B，C，有一個為

π

2

時，tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC無意義，因此不正確；
對于③，若tanAtanB＞1，則tanA＞0，tanB＞0，-tanC=tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanC

＜0，∴tanC＞0，因此△ABC一定是銳角三角形，不正確；
對于④，∵asinB=40×sin25°＜40×sin30°=20=b，∴A為銳角或鈍角，因此△ABC必有兩解，正確．
其中真命題個數為2．
故選：C．

點評：本題考查了正弦定理、兩角和差的正切公式、解三角形的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．