Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

(1-an)(1+an)

．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）設(shè)C_n=

1

bn-1

，求證數(shù)列{C_n}是等差數(shù)列，并求b_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，不等式4aS_n＜b_n恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接由數(shù)列遞推式求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）把數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{C_n}是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，求得數(shù)列{C_n}的通項(xiàng)公式后代入C_n=

1

bn-1

求b_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1利用裂項(xiàng)相消法求出S_n，把不等式4aS_n＜b_n恒成立轉(zhuǎn)化為（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，構(gòu)造二次函數(shù)后分離參數(shù)n得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+b_n=1，∴a_n=1-b_n，
∴b_n+1=

bn

(1-an)(1+an)

=

bn

bn(2-bn)

=

1

2-bn

．
∵a₁=

1

4

，
∴b1=

3

4

，b2=

4

5

，b3=

5

6

，b4=

5

7

；
（Ⅱ）∵bn+1-1=

1

2-bn

-1，
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，
∴數(shù)列{C_n}是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴c_n=-4+（n-1）（-1）=-n-3．
于是cn=

1

bn-1

=-n-3，
bn=

n+2

n+3

；
（Ⅲ）an=1-bn=

1

n+3

，
S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

．
∴4aS_n-b_n=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

．
由條件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可滿足條件，
設(shè)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8．
當(dāng)a=1時(shí)，f（n）=-3n-8＜0恒成立，
當(dāng)a＞1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立，
當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)稱軸 n=-

3

2

•

a-2

a-1

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0，f（n）在（1，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)．
則f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，
∴a＜

15

4

，
∴a＜1時(shí)，4aS_n＜b_n恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．