Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數，若當時， 的最大值為.

（1）求函數的解析式；

（2）若對任意的， ，不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意，得，對a分類討論，明確函數的單調性，從而得到函數的解析式；（2）令.令的最小值恒大于等于零，從而得到的最大值.

試題解析：

（1）由題意，得.

當，即時， 在時為單調遞減函數，

所以最大值為.

當，即時，當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減，

所以的最大值為.

當時，即時， ， 在時為單調遞增函數，

所以的最大值為.

綜上得

（2）令.

①當時， ，

由，得，

所以當時， ；

當時， ，

故最小值為 .

故當且時， 恒成立.

②當，且時， .

因為，

所以單調遞增，

故 .

令，

則，

故當時， 為減函數，

所以，

又，

所以當時， ，

即恒成立.

③當，且時，

，

因為，

所以單調遞減，

故.

令，

則，

所以當時， 為增函數，

所以，

所以，即.

綜上可得當時，“”是“成立”的充要條件.

此時.

令，

則，

令，得.

故當時， ；

當時， ，

所以的最大值為，

當且僅當， 時，取等號，

故的最大值為.