【題目】已知函數,其中為自然對數的底數,若當時, 的最大值為.
(1)求函數的解析式;
(2)若對任意的, ,不等式恒成立,求的最大值.
【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)由題意,得,對a分類討論,明確函數的單調性,從而得到函數的解析式;(2)令.令的最小值恒大于等于零,從而得到的最大值.
試題解析:
(1)由題意,得.
當,即時, 在時為單調遞減函數,
所以最大值為.
當,即時,當時, , 單調遞增;
當時, , 單調遞減,
所以的最大值為.
當時,即時, , 在時為單調遞增函數,
所以的最大值為.
綜上得
(2)令.
①當時, ,
由,得,
所以當時, ;
當時, ,
故最小值為 .
故當且時, 恒成立.
②當,且時, .
因為,
所以單調遞增,
故 .
令,
則,
故當時, 為減函數,
所以,
又,
所以當時, ,
即恒成立.
③當,且時,
,
因為,
所以單調遞減,
故.
令,
則,
所以當時, 為增函數,
所以,
所以,即.
綜上可得當時,“”是“成立”的充要條件.
此時.
令,
則,
令,得.
故當時, ;
當時, ,
所以的最大值為,
當且僅當, 時,取等號,
故的最大值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設數列{an}的前n項和為Sn,對任意n∈N*總有2Sn=an2+n,且an<an+1.若對任意n∈N*,θ∈R,不等式λ(n+2)恒成立,求實數λ的最小值( )
A.1B.2C.1D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,其導函數的圖象如圖所示,過點和
(Ⅰ)求函數的單調遞減區(qū)間和極大值點;
(Ⅱ)求實數的值;
(Ⅲ)若恰有兩個零點,請直接寫出的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,,且,O,M分別為,的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)設是線段上一點,滿足平面平面,試說明點的位置;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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