Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.且 ，據此列表討論可知：的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.的極大值為，無極小值.

（Ⅱ）由題意可得恒成立，令 ，由導函數(shù)可得當時函數(shù)有最大值，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則 ，據此結合不等式的性質利用放縮法即可證得.

（Ⅰ）定義域為.

，令，得.

		0
	增	極大值	減

由上圖表知：

的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.

的極大值為，無極小值.

（Ⅱ） ，令 又，

令解得，當x在內變化時，，變化如下表：

x
)	+	0
	↗		↘

由表知，當時函數(shù)有最大值，且最大值為，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

，

又

，

，

即.