【題目】已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它的短軸長為，一個焦點(diǎn)為，一個定點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)..

（1）求橢圓的方程及離心率.

（2）如果以為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線的方程.

【答案】（1），離心率為；（2）或

【解析】

（1）根據(jù)短軸長求得，根據(jù)列方程，求得，由此求得，從而求得橢圓的方程以及離心率.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時，不合題意.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫出判別式和韋達(dá)定理.根據(jù)圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)得到，化為，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行化簡，解方程求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.

（1）由題意得：，

所以 ， ，

因為，即： ，

解得：，所以，

所以 ，

所以橢圓的方程為：，離心率為.

（2）由（1）可知，設(shè) .顯然當(dāng)直線的斜率不存在時不適合題意，設(shè)直線的斜率為，

則直線方程為：，與橢圓方程，

聯(lián)立得：，

，

，，

因為以為直徑的圓過原點(diǎn)，

所以，即，

所以 ，即 ，

，

即：,

解得：，即，

所以直線的方程為或.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠在生產(chǎn)產(chǎn)品時需要用到長度為的型和長度為的型兩種鋼管.工廠利用長度為的鋼管原材料，裁剪成若干型和型鋼管，假設(shè)裁剪時損耗忽略不計，裁剪后所剩廢料與原材料的百分比稱為廢料率.

（1）要使裁剪的廢料率小于，共有幾種方案剪裁？請寫出每種方案中分別被裁剪型鋼管和型鋼管的根數(shù)；

（2）假設(shè)一根型鋼管和一根型鋼管能成為一套毛胚，假定只能按（1）中的那些方案裁剪，若工廠需要生產(chǎn)套毛胚，則至少需要采購多少根長度為的鋼管原材料？最終的廢料率為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，D點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)．

求證：平面；

若，，求二面角的余弦值；

若，，兩兩垂直，求證：此三棱柱為正三棱柱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一橢圓形溜冰場，長軸長100米，短軸長為60米，現(xiàn)要在這溜冰場上劃定一個各頂點(diǎn)都在溜冰場邊界上的矩形區(qū)域，且使這個區(qū)域的面積最大，應(yīng)把這個矩形的頂點(diǎn)定位在何處？并求出此矩形的周長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果對定義在R上的奇函數(shù)y＝f（x），對任意兩個不相鄰的實(shí)數(shù)x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），則稱函數(shù)y＝f（x）為“H函數(shù)”，下列函數(shù)為H函數(shù)的是（　�。�

A. f（x）＝sinxB. f（x）＝exC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值．由測量表得到如下頻率分布直方圖

（1）補(bǔ)全上面的頻率分布直方圖（用陰影表示）；

（2）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中間值作為代表，據(jù)此估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布Z（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均值，σ2近似為樣本方差s2（組數(shù)據(jù)取中間值）；

①利用該正態(tài)分布，求從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，該產(chǎn)品為合格品的概率；

②該企業(yè)每年生產(chǎn)這種產(chǎn)品10萬件，生產(chǎn)一件合格品利潤10元，生產(chǎn)一件不合格品虧損20元，則該企業(yè)的年利潤是多少？

參考數(shù)據(jù)：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖，將底面直徑都為，高皆為的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離處的平面截這兩個幾何體，可橫截得到及兩截面.可以證明總成立.據(jù)此，半短軸長為1，半長軸長為3的橢球體的體積是_______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧，某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植臍橙，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商進(jìn)行銷售，為了提高銷量，現(xiàn)從該村的臍橙樹上隨機(jī)摘下100個臍橙進(jìn)行測重，其質(zhì)量（單位克）分布在區(qū)間［200，500內(nèi)，由統(tǒng)計的質(zhì)量數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如圖所示.

（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量在，的臍橙中隨機(jī)抽取5個，再從這5個臍橙中隨機(jī)抽取2個，求這2個臍橙質(zhì)量至少有一個不小于400克的概率；

（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代替這組數(shù)據(jù)的平均值，以頻率代替概率，已知該村的臍橙種植地上大約還有100000個臍橙待出售，某電商提出兩種收購方案：

A.所有臍橙均以7元/千克收購；

B.低于350克的臍橙以2元/個收購，其余的以3元/個收購.

請你通過計算為該村選擇收益較好的方案.

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