Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x-1）²，其中a為常數(shù)．
（1）若f（x）在x=2處有極值，求a的值，并說明該極值是極大值還是極小值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象當(dāng)x＞1時(shí)總在直線y=x-1的上方，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用f（x）在x=2處有極值f′（2）=0，求出a的值，利用導(dǎo)數(shù)f′（x）判定出該極值是最大值；
（2）由題意，得不等式lnx+a（x-1）²-x+1＞0，求當(dāng)x＞1時(shí)，不等式恒成立的a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+2ax-2a，（x＞0），
∵f′（2）=0，∴a=-

1

4

；
∴f′（x）=

1

x

-

1

2

x+

1

2

=-

(x+1)(x-2)

2x

，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
∴該極值是最大值；
（2）由已知，即不等式lnx+a（x-1）²-x+1＞0（*），對(duì)于x＞1恒成立，
設(shè)φ（x）=lnx+a（x-1）²-x+1＞0（x＞0），φ′（x）=

1

x

+2ax-2a-1=

(x-1)(2ax-1)

x

；
（i）當(dāng)a=0時(shí)，φ′（x）=-

x-1

x

＜0，φ（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，φ（x）＜φ（0）=0，
∴（*）不等式不能成立；
（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，φ′（x）=

2ax(x-1)(x- 1 2a )

x

，
∵

1

2a

＜0，∴φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
φ（x）＜φ（1）=0，∴（*）不等式也不能成立；
（iii）當(dāng)a＞0時(shí)，φ′（x）=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

；
①若

1

2a

≤1，即a≥

1

2

，則φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，φ（x）＞φ（1）=0
∴（*）不等式成立；
②若

1

2a

＞1，即a∈（0，

1

2

），則當(dāng)x∈（1，

1

2a

）時(shí)，φ′（x）＜0
φ（x）在（1，

1

2a

）上是減函數(shù)，此時(shí)有φ（

1

2a

）＜φ（1）=0，（*）不等式不恒成立；
綜上，a的取值范圍是{a|a≥

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題，考查了構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，考查了不等式的恒成立問題，是綜合題．