【題目】已知函數(shù).

（1）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最大值；

（2）若，求證：.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)求得的最大值，進而得到結果；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為的證明；利用單調(diào)遞增和零點存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導函數(shù)正負可確定單調(diào)性，進而得到，化簡后，結合基本不等式可證得結論.

由函數(shù)解析式可知，定義域為.

（1），

在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立

令，則，在上單調(diào)遞增，

，，解得：，

的最大值為.

（2）由（1）知：，則，

在上單調(diào)遞增.

，當時，，，此時，

由零點存在定理可知，存在，使得，即，

.

當時，；當時，，

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，

（當且僅當，即時取等號）.

當時，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】廣東省的生產(chǎn)總值已經(jīng)連續(xù)30年位居全國第一位，如表是廣東省從2012年至2018年7年的生產(chǎn)總值以人民幣（單位：萬億元）計算的數(shù)據(jù)：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代號x

1

2

3

4

5

6

7

廣東省生產(chǎn)總值y（單位：萬億元）

5.71

6.25

6.78

7.28

8.09

8.97

9.73

（1）從表中數(shù)據(jù)可認為x和y的線性相關性較強，求出以x為解釋變量、y為預報變量的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（2）廣東省2018年人口約為1.13億，德國2018年人口約為0.83億.從人口數(shù)量比較看，廣東省比德國人口多，但德國2018年的生產(chǎn)總值為4.00萬億美元，以（1）的結論為依據(jù)，預測廣東省在哪年的生產(chǎn)總值能超過德國在2018年的生產(chǎn)總值？

參考數(shù)據(jù)：yi=52.81， xiyi=230.05， yi2=411.2153， xi2=140.

貨幣兌換：1美元≈7.03元人民幣

參考公式：回歸方程x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列與滿足：，且為正項等比數(shù)列，，.

（1）求數(shù)列與的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當函數(shù)僅有極小值時，不等實數(shù)滿足.證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校從參加某次知識競賽的同學中，選取60名同學將其成績（單位：分.百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題.

（1）求分數(shù)在內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（2）從頻率分布直方圖中，估計本次考試成績的眾數(shù)和平均數(shù)；

（3）若從第1組和第6組兩組學生中，隨機抽取2人，求所抽取2人成績之差的絕對值大于10的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)組，如果數(shù)組滿足，且，其中，則稱為的“兄弟數(shù)組”.

（1）寫出數(shù)組的“兄弟數(shù)組”；

（2）若的“兄弟數(shù)組”是，試證明：成等差數(shù)列；

（3）若為偶數(shù)，且的“兄弟數(shù)組”是，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的實軸端點分別為，記雙曲線的其中一個焦點為，一個虛軸端點為，若在線段上（不含端點）有且僅有兩個不同的點，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，面，，，，，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了解高三年級不同性別的學生對體育課改上自習課的態(tài)度（肯定還是否定），進行了如下的調(diào)查研究.全年級共有名學生，男女生人數(shù)之比為，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學生，每人被抽到的概率均為．

（1）求抽取的男學生人數(shù)和女學生人數(shù)；

（2）通過對被抽取的學生的問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：


否定

肯定

總計

男生


10


女生

30



總計




①完成列聯(lián)表；

②能否有的把握認為態(tài)度與性別有關？

（3）若一班有名男生被抽到，其中人持否定態(tài)度，人持肯定態(tài)度；二班有名女生被抽到，其中人持否定態(tài)度，人持肯定態(tài)度．

現(xiàn)從這人中隨機抽取一男一女進一步詢問所持態(tài)度的原因，求其中恰有一人持肯定態(tài)度一人持否定態(tài)度的概率．

解答時可參考下面臨界值表：


0.10

0.05

0.025

0.010

0.005


2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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