Question

已知．
（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（2）若直線(xiàn)l：y=kx+m（km≠0）與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，D（0，-1）且，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩個(gè)向量垂直，代入即可求得x和y的關(guān)系式．則軌跡方程可得．
（2）設(shè)有一點(diǎn)D在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)與y軸交于（0，m），m取極值時(shí)，有過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)⊥AD．先看D在x軸上方設(shè)切點(diǎn)為
（a，b），則僅當(dāng)D與A點(diǎn)重合時(shí)滿(mǎn)足條件，考慮M、N為不同的兩點(diǎn)，可知m的范圍；在看D在x軸上方設(shè)切點(diǎn)為（a，b），則切線(xiàn)方程可得，與y軸交點(diǎn)為m，進(jìn)而可求得直線(xiàn)AD的斜率表達(dá)式，根據(jù)切線(xiàn)⊥AD推斷出：k₁×k₂=-1，進(jìn)而求得m的范圍．最后綜合可得答案．
解答：解：（1）∵
∴（x+，y）（x-，y）=0
∴x²-3+3y²=0
整理得：
即點(diǎn)Q（x，y）的軌跡C是橢圓
（2）：設(shè)有一點(diǎn)D在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)與y軸交于（0，m），
m取極值時(shí)，有過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)⊥AD．
①D在x軸下方
顯然僅當(dāng)D與A點(diǎn)重合時(shí)滿(mǎn)足條件，考慮M、N為不同的兩點(diǎn)，可知m＞-1
②D在x軸上方設(shè)切點(diǎn)為（a，b），則有切線(xiàn)方程：+by=1，
其斜率為 k₁=-，與y軸交點(diǎn)為 m=．
直線(xiàn)AD的斜率為 k₂=
由切線(xiàn)⊥AD：k₁×k₂=-1
即（-）=-1
解得：b=
則：m==2
∴m≤2
綜上述：-1＜m≤2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．