Question

根據(jù)所給條件求直線l的方程．
（1）直線l經(jīng)過圓x²+y²+2y=0的圓心，且與直線2x+y=0垂直；
（2）直線l過點(diǎn)（-4，8），且到原點(diǎn)的距離為4．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由已知中圓的方程，我們先確定出圓的圓心的坐標(biāo)，然后根據(jù)與已知直線垂直的直線的直線系方程，我們?cè)O(shè)出與直線2x+y=0垂直的直線方程（含參數(shù)λ），將圓心坐標(biāo)代入可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到答案．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-4，滿足條件．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y-8=k（x+4），由

|8+4k|

k2+1

=4，解出k值，可得直線方程．

解答： 解：（1）由已知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y+l）²=1，圓心坐標(biāo)為（0，-1）
設(shè)與直線2x+y=0垂直的直線方程是x-2y+λ=0
則2+λ=0，所以λ=-2
故經(jīng)過圓x²+y²+2y=0的圓心，且與直線2x+y=0垂直的直線方程是x-2y-2=0；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-4，滿足條件．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y-8=k（x+4），即kx-y-4k-8=0，
由條件得

|8+4k|

k2+1

=4，∴k=-

3

4

，故直線方程為3x+4y-20=0．
綜上，直線l的方程為x=-4或3x+4y-20=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求直線方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．