Question

函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)性
（2）設(shè)函數(shù)Y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為l，若l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=f（x）運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求a的值
（3）若a＞0，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=ax有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分當(dāng)a≤0時(shí)和當(dāng)a＞0時(shí)討論原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求出f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l的方程，把l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]有極值點(diǎn)1=-

a

2

，則a的值可求；
（3）由題意知方程x²-alnx-ax=0有唯一實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-

a

x

-a=

2x2-ax-a

x

，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，求得極小值點(diǎn)x2=

a+ a2+8a

4

，把使方程f（x）=ax有唯一實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為

g′(x)=0 g(x)=0

，由此求得

a+ a2+8a

4

=1，從而得到a的值．

解答： 解：（1）由已知得，f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，且函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=-

a 2

（舍），x=

a 2

．
當(dāng)x∈(0，

a 2

)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(

a 2

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上，a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
a＞0時(shí)，f（x）在(0，

a 2

)上單調(diào)遞減，在(

a 2

，+∞)上單調(diào)遞增；
（2）由f（1）=1，f′（1）=2-a知，f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l的方程為：
y=（2-a）（x-1）+1．
∵l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象，
∴令h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]=x²-alnx-[（2-a）（x-1）+1]．
則h（x）在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則x=1不是函數(shù)的極值點(diǎn)．
而h′(x)=2x-

a

x

-(2-a)=

(2x+a)(x-1)

x

．
若1≠-

a

2

，則x=1和x=-

a

2

都是函數(shù)的極值點(diǎn)，
∴1=-

a

2

，即a=-2；
（3）由題意知方程x²-alnx-ax=0有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)g(x)=2x-

a

x

-a=

2x2-ax-a

x

．
令g′（x）=0，解得x1=

a- a2+8a

4

（舍），x2=

a+ a2+8a

4

．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=x₂時(shí)，g（x）取得最小值g（x₂）．
則要使方程f（x）=ax有唯一實(shí)數(shù)解，只有

g′(x)=0 g(x)=0

，
即

2x22-ax2-a=0 x22-alnx2-ax2=0

，即2alnx₂+ax₂-a=0．
∵a＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0．
設(shè)u（x）=2lnx+x-1，則x＞0時(shí)，u′(x)=

2

x

+1＞0，u（x）單調(diào)遞增，
∴u（x）至多有一解，
又∵u（1）=0，
∴方程2alnx₂+ax₂-a=0的解為x₂=1．
即

a+ a2+8a

4

=1，解得a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論能力，新定義理解及應(yīng)用解決能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．