Question

已知關(guān)于x的方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實(shí)數(shù)根b，若復(fù)數(shù)z滿足|

.

z

-a-bi|=2|z|，則|z|有最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：復(fù)數(shù)方程有實(shí)根，方程化簡(jiǎn)為a+bi=0（a、b∈R），利用復(fù)數(shù)相等，求出a，b．把a(bǔ)、b代入方程，同時(shí)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，化簡(jiǎn)方程，根據(jù)表達(dá)式的幾何意義，方程表示圓，再數(shù)形結(jié)合，求出z，得到|z|．

解答： 解：∵b是方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的實(shí)根，
∴（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴

b2-5b+9=0 a=b

解之得a=b=3．
（2）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），由|

.

z

-3-3i|=2|z|，
得（x-3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y-1）²=8，
∴z點(diǎn)的軌跡是以O(shè)₁（-1，1）為圓心，2

2

為半徑的圓，如圖所示，
如圖，
當(dāng)z點(diǎn)在OO₁的連線上時(shí)，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=

2

，
半徑r=2

2

，
∴當(dāng)z=1-i時(shí)．
|z|有最小值且|z|_min=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)相等；考查復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合的思想方法．
是有一定難度的中檔題目．