Question

如圖，直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A、B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若點D的坐標為（2，1），則p的值等于

 

．

Answer 1

考點：拋物線的應用

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用OD⊥AB，可求直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結合OA⊥OB，利用向量的數(shù)量積公式，即可求出p的值．

解答： 解：∵OD⊥AB，∴k_OD•k_AB=-1．
又k_OD=

1

2

，∴k_AB=-2，
∴直線AB的方程為y=-2x+5．
設A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，
又x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-2x₁+5）（-2x₂+5）=5x₁x₂-10（x₁+x₂）+25
聯(lián)立方程，消y可得4x²-（20+2p）x+25=0①
∴x₁+x₂=

10+p

2

，x₁x₂=

25

4

，
∴x₁x₂+y₁y₂=5×

25

4

-10×

10+p

2

+25=0，
∴p=

5

4

，
當p=

5

4

時，方程①成為8x²-45x+50=0顯然此方程有解．
∴p=

5

4

，
故答案為：

5

4

．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，正確運用韋達定理是關鍵．