Question

設f（x）=|xe^x|，若關于x的方程（1-t）f²（x）-f（x）+t=0有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍為（　�。�

• A、（-∞，0）
• B、（0，

  1

  e+1

  ）
• C、（

  e

  e2+1

  ，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：函數(shù)f（x）=|xe^x|是分段函數(shù)，通過求導分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上，當x=-1時有一個最大值

1

e

，所以，由（1-t）f²（x）-f（x）+t=0，可得f（x）=1或f（x）=

t

1-t

，要使方程（1-t）f²（x）-f（x）+t=0有四個實數(shù)根，可得0＜

t

1-t

＜

1

e

，即可求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：f（x）=|xe^x|=

xex，x≥0 -xex，x＜0

，
當x≥0時，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當x＜0時，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當x∈（-∞，-1）時，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當x∈（-1，0）時，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=

1

e

，
由（1-t）f²（x）-f（x）+t=0，可得f（x）=1或f（x）=

t

1-t

所以0＜

t

1-t

＜

1

e

，
所以0＜t＜

1

e+1

，
所以，使得關于x的方程（1-t）f²（x）-f（x）+t=0有四個不同的實數(shù)根的t的取值范圍（0，

1

e+1

），
故選：B．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關鍵是分析出方程（1-t）f²（x）-f（x）+t=0有四個實數(shù)根時f（x）的取值情況，此題屬于中高檔題．