Question

已知函數f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然對數的底數．
（1）證明：f（x）是R上的奇函數；
（2）若函數g（x）=e^2x+e^-2x-6f（x），求g（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,函數奇偶性的判斷,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）由f（x）=e^x-e^-x，可得f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），從而可得函數為奇函數；
（2）函數g（x）=e^2x+e^-2x-6f（x）=（e^x-e^-x）²+2-6f（x）=[f（x）]²-6f（x）+2，不妨令t=f（x），則g（x）=t²-6t+2，
先確定t的范圍，求出原函數的最大值．

解答： （1）證明：函數f（x）的定義域為R，
∵f（x）=e^x-e^-x，
∴f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴函數f（x）為奇函數
（2）解：函數g（x）=e^2x+e^-2x-6f（x）=（e^x-e^-x）²+2-6f（x）=[f（x）]²-6f（x）+2，
不妨令t=f（x），則g（x）=t²-6t+2，易知g（x）在t∈（-∞，3）單調遞減，
由f′（x）=e^x+e^-x＞0可知f（x）在R上為單調遞增函數，
所以f（x）在[0，1]上亦為單調遞增函數，
從而t∈[f（0），f（1）]=[0，e-

1

e

]⊆（-∞，3），
所以g（x）的最大值在t=f（0）=0處取得，
即g(x)max=(0-3)2-7=2．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數在閉區(qū)間上的最值、二次不等式的求解，考查學生解決問題的能力，屬中檔題．