Question

（本小題滿分14分）已知常數，函數，．

（1）討論在上的單調性；

（2）若在上存在兩個極值點，，且，求常數的取值范圍．

Answer 1

（1）當時，在區(qū)間上單調遞增；當時，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間（，）上單調遞增．

（2）的取值范圍為

【解析】

試題分析：（1）求導，分和討論即可

（2）由（1）可知只有當時，由極值點和且由的定義可得，

而，此時構造函數其中，分和討論的單調性即可得到的取值范圍

試題解析：（1）

當時，，此時，在區(qū)間上單調遞增．

當時，由得

（舍去）

當時，；

當時，.

故在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增．

綜上所述，

當時，在區(qū)間上單調遞增；

當時，在區(qū)間上單調遞減，

在區(qū)間（，）上單調遞增．

（2）由（*）式知，當時，，此時不存在極值點，

因而要使得有兩個極值點，必有.

又的極值點只可能是和，且由的定義可知，

且，

所以

此時，由（*）式易知，分別是的極小值點和極大值點．

而

令.由且知，

當時，；當時，

記

（i）當時，，

設

單調遞增

從而.

故當時，.

不合題意，舍去

（ii）當時，，

所以，

因此，在區(qū)間上單調遞減，

從而.故當時，.

綜上所述，滿足條件的的取值范圍為.

考點：利用導數研究函數的性質

考點分析： 考點1：導數在研究函數中的應用 考點2：復合函數的導數 考點3：函數的單調性與導數 考點4：函數的極值與導數 考點5：函數的最值與導數 試題屬性

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