Question

已知f（x）=mlnx-

1

2

x（m∈R），g（x）=2cos²x+sinx+a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
〔Ⅱ）當(dāng)m=

1

2

時，對于任意x₁∈[

1

e

，e]，總存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：f′（x）=

m

x

-

1

2

=

2m-x

2x

（x＞0）．對m分類討論：當(dāng)m≤0時，當(dāng)m＞0時，即可得出其單調(diào)區(qū)間．
（II）對于任意x₁∈[

1

e

，e]，總存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立f（x）_max?≤g（x）_max．利用（I）的結(jié)論可得f（x）的最大值，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得g（x）的最大值．

解答： 解：（I）f′（x）=

m

x

-

1

2

=

2m-x

2x

（x＞0）．
當(dāng)m≤0時，f′（x）≤0，此時函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞減．
當(dāng)m＞0時，由f′（x）=0，解得x=2m．
令f′（x）＞0，解得0＜x＜2m，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得2m＜x，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2m），單調(diào)遞減區(qū)間為（2m，+∞）．
（II）對于任意x₁∈[

1

e

，e]，總存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立f（x）_max?≤g（x）_max．
當(dāng)m=

1

2

時，f（x）=

1

2

lnx-

1

2

x，由（I）可知：當(dāng)x∈[

1

e

，1]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈[1，e]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（x）_max=f（1）=-

1

2

．
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，sinx∈[0，1]．
g（x）=2cos²x+sinx+a=2（1-sin²x）+sinx+a=-2sin²x+sinx+2+a=-2(sinx-

1

4

)2+

17

8

+a．
∴當(dāng)sinx=

1

4

時，g（x）_max=g(

1

4

)=a+

17

8

．
∴-

1

2

≤a+

17

8

，解得a≥-

21

8

．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-

21

8

，+∞)．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．