Question

對于函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），下列說法正確的個(gè)數(shù)有（　�。�
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
②若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），則f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：先求出f（x）為奇函數(shù)，再求出x＞0時(shí)的函數(shù)值，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域；由函數(shù)的單調(diào)性能判斷結(jié)論②的正誤；用數(shù)學(xué)歸納法能判斷③的正誤．

解答： 解：∵f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），
∴f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
x＞0時(shí)，f（x）=

x

1+x

=

-1

1+x

+1∈（0，1）且f（x）單調(diào)遞增，
∴由奇函數(shù)的對稱性可知函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1），
∵函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，
∴當(dāng)x₁≠x₂，有f（x₁）≠f（x₂）；
f₂（x）=f（f₁（x））=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，
f₃（x）═f（f₂（x））=

x 1+2|x|

1+| x 1+2|x| |

=

x

1+3|x|

，
…
由此可得：f_n（x）=

x

1+n|x|

，
用由數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=3時(shí)，f₃（x）═

x

1+3|x|

，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即f_k（x）=

x

1+k|x|

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

，也成立，
∴f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，要注意結(jié)合函數(shù)值域求法及單調(diào)性判斷方法對甲乙取舍，至于丙的說法用不完全歸納法歸納即可作出判斷．